进阶篇 目标 90-120 分
这里是"拉分题"的主战场。套路要熟，但更重要的是知道"什么时候用哪个套路"。
一、导数及其应用
1. 基本求导公式
| 原函数 | 导函数 | 原函数 | 导函数 |
|---|
| C | 0 | xn | n xn−1 |
| ex | ex | ln x | 1/x |
| sin x | cos x | cos x | −sin x |
| ax | ax ln a | logax | 1/(x ln a) |
2. 四则运算与复合
(uv)' = u'v + uv'
(uv)' = u'v − uv'v²
复合函数：y = f(g(x)) ⇒ y' = f'(g(x)) · g'(x)
3. 几何意义
切线斜率 k = f'(x₀)，切线方程 y − f(x₀) = f'(x₀)(x − x₀)。
4. 单调性与极值
- f'(x) > 0 的区间递增，f'(x) < 0 的区间递减。
- 极值点：f'(x₀) = 0 且左右导数变号（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。
- 最值：比较极值点和端点处的函数值。
5. 含参讨论的三板斧
- 求导 → 找 f'(x) 的零点（含参时按参数分类）。
- 定号 → 判断各区间 f'(x) 的符号。
- 画表 → 列表写单调性、极值，再比较端点。
典型例题
求 f(x) = x³ − 3x 的单调区间与极值。
看解析
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)，零点 x = ±1。
递增区间 (−∞,−1) 与 (1,+∞)；递减区间 (−1,1)。
极大值 f(−1) = −1 + 3 = 2；极小值 f(1) = 1 − 3 = −2。
二、数列综合
1. 错位相减（等差 × 等比）
求和 Sn = Σ anbn（a 等差、b 等比）：
- 写出 Sn；
- 两边乘公比 q 得 qSn；
- 两式相减，中间项构成等比数列；
- 整理出 Sn。
2. 裂项相消
1n(n+1) = 1n − 1n+1
1n(n+k) = 1k(1n − 1n+k)
1√n + √(n+1) = √(n+1) − √n
3. 分组求和
把数列拆成等差部分 + 等比部分，分别求和再相加。
典型例题
求 Sn = 11×2 + 12×3 + … + 1n(n+1)。
看解析
裂项：每项 = 1/k − 1/(k+1)，相加后中间抵消，只剩 1 − 1/(n+1)。
Sn = nn+1。
三、圆锥曲线（椭圆 / 双曲线 / 抛物线）
1. 三种曲线的定义与标准方程
| 曲线 | 定义 | 标准方程 | 离心率 |
|---|
| 椭圆 | 到两焦点距离之和为 2a（2a > 2c） | x²/a² + y²/b² = 1 | e = c/a ∈ (0,1) |
| 双曲线 | 到两焦点距离之差的绝对值为 2a（2a < 2c） | x²/a² − y²/b² = 1 | e = c/a > 1 |
| 抛物线 | 到焦点距离 = 到准线距离 | y² = 2px | e = 1 |
椭圆 a² = b² + c²；双曲线 c² = a² + b²（注意符号相反！）
2. 几何性质（椭圆 x²/a² + y²/b² = 1）
- 顶点 (±a, 0), (0, ±b)；焦点 (±c, 0)。
- 范围：−a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b。
- 通径（过焦点垂直于长轴的弦）长 2b²/a。
3. 双曲线的渐近线
x²/a² − y²/b² = 1 的渐近线：y = ± ba x
4. 直线与圆锥曲线（核心套路）
设直线 y = kx + m，代入曲线方程得一元二次方程，则：
韦达定理：x₁ + x₂ = −BA，x₁x₂ = CA
弦长：|AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂| = √(1 + k²) · √Δ|A|
- 先写 Δ > 0（保证有两个交点）。
- 中点坐标：((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。
- 面积：S = ½ · |弦长| · 点到直线距离。
典型例题
椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 的离心率是多少？
看解析
a² = 9, b² = 4 ⇒ c² = a² − b² = 5 ⇒ c = √5。
e = c/a = √5 / 3。
四、空间向量与立体几何
1. 建系三部曲
- 找三条两两垂直的直线（常见于正方体、长方体、有垂直关系的棱锥）；
- 以交点为原点建空间直角坐标系；
- 写出各点坐标（长度关系要清楚）。
2. 法向量
设平面内两个不共线向量 a⃗, b⃗，法向量 n⃗ 满足 n⃗·a⃗ = 0, n⃗·b⃗ = 0，解方程组取一组非零解。
3. 夹角与距离公式
线面角：sin θ = |cos⟨n⃗, l⃗⟩| = |n⃗·l⃗||n⃗||l⃗|
二面角：cos θ = n⃗₁·n⃗₂|n⃗₁||n⃗₂|（注意判断锐钝）
点面距：d = |AP⃗·n⃗||n⃗|
4. 用向量证平行/垂直
- 线面平行：方向向量 l⃗ ⊥ 法向量 n⃗ 且直线不在平面内。
- 线面垂直：l⃗ ∥ n⃗。
- 面面垂直：n⃗₁ · n⃗₂ = 0。
典型例题
正方体棱长 1，求体对角线长。
看解析
体对角线 = √(1² + 1² + 1²) = √3。
五、随机变量及其分布
1. 分布列的基本性质
Σ pi = 1，
E(X) = Σ xi pi，
D(X) = Σ (xi − E(X))² pi = E(X²) − [E(X)]²
2. 重要分布的期望方差
| 分布 | 概率 | E(X) | D(X) |
|---|
| 两点分布 | P(X=1) = p | p | p(1−p) |
| 二项分布 B(n,p) | Cnkpk(1−p)n−k | np | np(1−p) |
正态分布 N(μ, σ²)：图象关于 x = μ 对称；P(μ−σ < X ≤ μ+σ) ≈ 0.6827
P(μ−2σ < X ≤ μ+2σ) ≈ 0.9545，
P(μ−3σ < X ≤ μ+3σ) ≈ 0.9973
3. 线性回归与独立性检验
b̂ = Σ(xi−x̄)(yi−ȳ)Σ(xi−x̄)²，â = ȳ − b̂x̄。
K² = n(ad − bc)²(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，与临界值比较判断相关性。
典型例题
X ~ B(10, 0.3)，求 E(X) 与 D(X)。
看解析
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3；D(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1。
六、恒成立 / 存在性问题（通用套路）
1. 恒成立
∀x, f(x) ≥ 0 ⇔ f(x)min ≥ 0
∀x, f(x) ≤ 0 ⇔ f(x)max ≤ 0
2. 存在性
∃x, f(x) ≥ 0 ⇔ f(x)max ≥ 0
∃x, f(x) ≤ 0 ⇔ f(x)min ≤ 0
3. 分离参数法
把参数 a 单独移到一边：a ≥ g(x) 恒成立 ⇔ a ≥ g(x)max。
适合"参数好分离"的题；参数分离后函数太复杂时，改用直接分类讨论。
典型例题
若 x² − 2x + a ≥ 0 对任意 x ∈ R 恒成立，求 a 的范围。
看解析
二次函数开口向上，恒非负 ⇔ Δ ≤ 0：4 − 4a ≤ 0 ⇒ a ≥ 1。