按模块归类整理，重点是"这类题怎么想"。先自己动笔，再展开答案对照思路。
⚠️ 说明：以下题目整理自全国卷 / 新高考卷的常见题型（部分为改编），用于学习训练，请以官方真题为准。
题 1 已知集合 A = {x | x² − 3x + 2 < 0}，B = {x | 0 < x ≤ 3}，求 A ∩ B。
x² − 3x + 2 = (x−1)(x−2) < 0 ⇒ 1 < x < 2。
与 0 < x ≤ 3 取交集：1 < x < 2。
思路：解二次不等式 → 数轴取交集。
题 2 命题 "∀x > 0，x + 1/x ≥ 2" 的否定是？
否定："∃x > 0，x + 1/x < 2"。
思路：量词互变（∀→∃），结论取反。
题 3 已知 f(x) = ex − ax，讨论 f(x) 的单调性。
f′(x) = ex − a。
① a ≤ 0：f′(x) > 0 恒成立，f(x) 在 R 上递增。
② a > 0：令 f′(x) = 0 得 x = ln a。x < ln a 时递减，x > ln a 时递增。
思路：含参讨论，分界点是 a = 0（导数恒正）和 a > 0（有零点）。
题 4 求 f(x) = x ln x 在 x = e 处的切线方程。
f(e) = e。导数 f′(x) = ln x + 1，f′(e) = 2。
切线：y − e = 2(x − e)，即 y = 2x − e。
思路：切点坐标 + 导数值 → 点斜式。
题 5 在 △ABC 中，a = 3, b = 4, C = 60°，求 c 及 △ABC 的面积。
c² = a² + b² − 2ab cos60° = 9 + 16 − 12 = 13，c = √13。
S = ½ ab sin C = ½ × 3 × 4 × (√3/2) = 3√3。
题 6 化简 sin 2α · tan α（cos α ≠ 0）。
= 2 sin α cos α · (sin α / cos α) = 2 sin²α。
思路：先拆二倍角，再约分。
题 7 已知 a₁ = 1，an+1 = 2an + 1，求通项公式。
构造：设 an+1 + 1 = 2(an + 1)，则 {an + 1} 是首项 a₁ + 1 = 2、公比 2 的等比数列。
an + 1 = 2 × 2n−1 = 2n，所以 an = 2n − 1。
思路：an+1 = pan + q 型 → 构造等比。
题 8 求和 Sn = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + … + n·2n。
错位相减：Sn = Σ k·2k，乘以 2 得 2Sn = Σ k·2k+1，相减得 −Sn = (2 + 2² + … + 2n) − n·2n+1。
整理：Sn = (n−1)·2n+1 + 2。
题 9 正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 棱长 2，求异面直线 AB₁ 与 BC₁ 所成角。
建系：设 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), B₁(2,0,2)。
AB₁⃗ = (2,0,2)，BC₁⃗ = (0,2,2)。
cos θ = |AB₁⃗·BC₁⃗| / (|AB₁⃗||BC₁⃗|) = |4| / (2√2 · 2√2) = 4/8 = ½，所以 θ = 60°。
思路：建系 → 求方向向量 → 用点积求夹角（注意异面直线取锐角）。
题 10 椭圆 x²/4 + y² = 1，过点 P(0, ½) 的直线交椭圆于 A、B 两点，求 △OAB 面积的最大值（O 为原点）。
设直线 y = kx + ½，代入椭圆得 (1+4k²)x² + 4kx − 3 = 0。
x₁ + x₂ = −4k/(1+4k²)，x₁x₂ = −3/(1+4k²)。
S = ½ × |OP| × |x₁ − x₂| = ½ × ½ × √(Δ)/(1+4k²)，化简后用基本不等式求最大。
思路：设直线 → 联立 → 韦达 → 面积用底×高（弦被 y 轴截）→ 求最值。
题 11 甲乙两人独立射击，甲命中率 0.8，乙命中率 0.6，各射击一次，求至少一人命中的概率。
对立事件（都不中）：(1−0.8)(1−0.6) = 0.2 × 0.4 = 0.08。
至少一人命中：1 − 0.08 = 0.92。
思路：正向分类多，用对立事件更快。
题 12 某次考试数学成绩 X ~ N(100, 10²)，求成绩在 (90, 110) 之间的概率（参考 0.6827）。
P(90 < X < 110) = P(μ−σ < X < μ+σ) ≈ 0.6827。
思路：正态分布 3σ 原则直接套。
建议：真题不要"看一遍就过"。做完一道，合上用纸笔再默写一遍思路，才算真会。练完去 测试页 检验。