数学 · 精讲 12 节 · 60 道选择题 · 22 道大题

【第一步 解集合 A】先把不等式解出来，A 才有具体样子。x² − 4x + 3 < 0 因式分解成 (x−1)(x−3) < 0：两根是 1 和 3，开口向上，「小于取中间」，所以 1 < x < 3。
卷面上写：「由 x² − 4x + 3 < 0 得 (x−1)(x−3) < 0，解得 1 < x < 3，即 A = {x | 1 < x < 3}。」

【第二步 解集合 B】x² − 2x − 3 ≤ 0 因式分解成 (x−3)(x+1) ≤ 0：两根 −1 和 3，开口向上，「小于等于取中间」，所以 −1 ≤ x ≤ 3。
卷面上写：「由 x² − 2x − 3 ≤ 0 得 (x+1)(x−3) ≤ 0，解得 −1 ≤ x ≤ 3，即 B = {x | −1 ≤ x ≤ 3}。」

【第三步 取交集】把 1 < x < 3 和 −1 ≤ x ≤ 3 画在同一条数轴上：前一段整个躺在后一段里面，重叠部分就是前一段自己。
卷面上写：「A ∩ B = {x | 1 < x < 3}（因 A ⊆ B，故交集为 A 本身）。」

【第四步 取并集】两个区间的「外沿」是 −1（来自 B，取等）和 3（两边都是 3，取等）。
卷面上写：「A ∪ B = {x | −1 ≤ x ≤ 3} = B。」

【第五步 求补集】补集是「实数里剔除 A」，注意 A 的两端 1、3 本身不在 A 里，所以要归到补集里去。
卷面上写：「∁_RA = {x | x ≤ 1 或 x ≥ 3}。」（写「或」，不能写「且」——没有数能同时 ≤1 又 ≥3。）

【第六步 处理 A ⊆ C】C = {x | x > a} 是一条「从 a 往右」的射线。要 A = (1,3) 整段都落进去，最危险的是最小那个数 1（它已经不在 A 里了，是 A 的下界）；再单独检查 a = 1：此时 C = {x | x > 1}，A 里每个数都严格大于 1，确实都在 C 里，所以 a = 1 可以取。
卷面上写：「要使 A ⊆ C，需 a ≤ 1；当 a = 1 时 C = {x | x > 1}，A 中元素均满足 x > 1，故 a ≤ 1 符合题意。」

【答案】（1）{x | 1 < x < 3}；（2）{x | −1 ≤ x ≤ 3}；（3）{x | x ≤ 1 或 x ≥ 3}；（4）a ≤ 1。

⚠️ 第（4）问的坑：含参数的范围题，端点一定要单独代进去试。这里能取等，是因为 A 是开区间（1 本身不属于 A），换成 A = {x | 1 ≤ x < 3} 就要写成 a < 1 了。

【第一步 换量词】原命题是「任意」，否定就变成「存在」。「∀」的否定是「∃」，「≥」的否定是「<」。
卷面上写：「¬p：∃x > 0，x + 1/x < 2。」注意条件「x > 0」原样保留、不否定——否定的只是量词和结论。

【第二步 判断 p 的真假】用基本不等式：x > 0 时 x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2√1 = 2，等号在 x = 1/x 即 x = 1 时成立，而 x = 1 > 0 确实取得到。
卷面上写：「∵ x > 0，∴ x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2，当且仅当 x = 1 时取等号，故 p 为真命题。」

【第三步 由 p 真推 ¬p 假】一个命题和它的否定必然一真一假，p 真则 ¬p 必假。也可以直接说理：不存在让 x + 1/x < 2 的正数 x。
卷面上写：「由 p 为真知 ¬p 为假命题。」

【答案】¬p：∃x > 0，x + 1/x < 2；p 真，¬p 假。

⚠️ 最常见的错法：把否定写成「∀x > 0，x + 1/x < 2」（只改结论没换量词），或写成「∃x ≤ 0，x + 1/x < 2」（把范围也否定了）。两处都错。

【第一步 列条件】根号下的东西必须 ≥ 0，这是唯一的禁区（没有分母、没有对数）。
卷面上写：「由 4 − x² ≥ 0 得 x² ≤ 4，解得 −2 ≤ x ≤ 2。」

【第二步 写定义域】
卷面上写：「∴ f(x) 的定义域为 [−2, 2]。」（写成 {x | −2 ≤ x ≤ 2} 也满分。）

【第三步 判奇偶】先看定义域 [−2,2] 是否关于原点对称——是，可以往下走；再把 x 换成 −x：4 − (−x)² = 4 − x²，和原来一模一样。
卷面上写：「∵ 定义域 [−2, 2] 关于原点对称，且 f(−x) = √(4 − (−x)²) = √(4 − x²) = f(x)，∴ f(x) 是偶函数。」

【第四步 求值域】定义域内 0 ≤ x² ≤ 4，所以 4 − x² 落在 [0, 4]，开根号后落在 [0, 2]。两端都取得到（x = ±2 得 0，x = 0 得 2）。
卷面上写：「∵ x ∈ [−2,2]，∴ 0 ≤ 4 − x² ≤ 4，∴ 0 ≤ √(4 − x²) ≤ 2，即值域为 [0, 2]。」

【答案】定义域 [−2, 2]；偶函数；值域 [0, 2]。

💡 这个函数的图像是上半圆（半径 2 的圆 x² + y² = 4 的上半部分），记住它，很多小题能秒答。

【第一步 观察结构】直接对 x + 4/(x−1) 用基本不等式是不行的：x 乘上 4/(x−1) 不是定值，根号里还有 x。所以要配凑——把 x 拆成 (x−1) + 1，让上下同源。
卷面上写：「令 t = x − 1，∵ x > 1，∴ t > 0。」

【第二步 代换】y = (x − 1) + 1 + 4/(x−1) = t + 4/t + 1。现在 t · (4/t) = 4 是定值，可以用基本不等式了。
卷面上写：「y = t + 4t + 1，其中 t > 0。」

【第三步 用基本不等式】t + 4/t ≥ 2√(t · 4/t) = 2√4 = 4。
卷面上写：「∵ t > 0，∴ t + 4t ≥ 2√(t · 4t) = 4，当且仅当 t = 4t 即 t = 2 时取等号。」

【第四步 回代】t = 2 → x − 1 = 2 → x = 3，此时 y = 2 + 2 + 1 = 5。
卷面上写：「∴ y ≥ 4 + 1 = 5，当 t = 2 即 x = 3 时 y 取最小值 5。」

【答案】最小值 5，此时 x = 3。

⚠️ 「x = 3 在不在定义域里」必须检查：题目限定 x > 1，3 > 1，可以取。若题目是 x > 4，那 x = 3 取不到，就得改用单调性求端点值——这是本题最大的陷阱。

【第一步 找对称轴、定开口】a = 1 > 0 开口向上，最小值一定在「离对称轴最近的那个端点或顶点」上。对称轴是 x = −(−2a)/2 = a。但 a 是个字母，它可能落在区间的左边、里面、右边——这就是要分类的原因。
卷面上写：「f(x) = (x − a)² + 3 − a²，开口向上，对称轴 x = a。」

【第二步 情况一：轴在区间左边（a < 1）】轴在 [1,4] 左侧，函数在整个区间上单调递增，最小值在左端点 x = 1：f(1) = 1 − 2a + 3 = 4 − 2a。
卷面上写：「当 a < 1 时，f(x) 在 [1,4] 上单调递增，∴ g(a) = f(1) = 4 − 2a。」

【第三步 情况二：轴落在区间里（1 ≤ a ≤ 4）】此时顶点就在区间内部，最小值就是顶点值：f(a) = a² − 2a² + 3 = 3 − a²。
卷面上写：「当 1 ≤ a ≤ 4 时，g(a) = f(a) = 3 − a²。」

【第四步 情况三：轴在区间右边（a > 4）】轴在区间右侧，函数在 [1,4] 上单调递减，最小值在右端点 x = 4：f(4) = 16 − 8a + 3 = 19 − 8a。
卷面上写：「当 a > 4 时，f(x) 在 [1,4] 上单调递减，∴ g(a) = f(4) = 19 − 8a。」

【第五步 拼成分段函数】
卷面上写：「g(a) = 4 − 2a（a < 1）；3 − a²（1 ≤ a ≤ 4）；19 − 8a（a > 4）。」

【答案】g(a) 如上分段。验算：取 a = 1，第一段给 2，第二段给 2，一致；取 a = 4，第二段给 −13，第三段给 −13，一致。端点接上了，说明分类没错。

💡 这类题的口诀：轴动区间定，三种情况分。分类的边界就是「对称轴恰好等于区间端点」的两个值，写的时候三种情况的端点必须有一个取等号，否则会漏掉。

【第一步 取值】定义法五步：取值、作差、变形、定号、结论。先任取两个数并规定大小。
卷面上写：「设 0 < x₁ < x₂ < 1。」

【第二步 作差并通分】f(x₁) − f(x₂) = (x₁ + 1/x₁) − (x₂ + 1/x₂) = (x₁ − x₂) + (1/x₁ − 1/x₂) = (x₁ − x₂) + (x₂ − x₁)/(x₁x₂)。
卷面上写：「f(x₁) − f(x₂) = (x₁ − x₂) + x₂ − x₁x₁x₂ = (x₁ − x₂)·x₁x₂ − 1x₁x₂。」（提公因式 (x₁−x₂)，这一步是整题的关键变形。）

【第三步 定号】三个因子的符号要逐个说清：x₁ − x₂ < 0（因为 x₁ < x₂）；x₁x₂ > 0（都是正数）；x₁x₂ − 1 < 0（因为 0 < x₁ < x₂ < 1，乘积小于 1）。所以「负 × 负 ÷ 正 > 0」，即 f(x₁) − f(x₂) > 0。
卷面上写：「∵ 0 < x₁ < x₂ < 1，∴ x₁ − x₂ < 0，x₁x₂ > 0，x₁x₂ − 1 < 0，∴ f(x₁) − f(x₂) > 0，即 f(x₁) > f(x₂)。」

【第四步 下结论】
卷面上写：「∴ f(x) 在 (0,1) 上单调递减。」「单调递减」四个字必须和区间绑在一起写，只写「递减」不给分。

【第五步 求最小值】用基本不等式：x > 0 时 f(x) = x + 1/x ≥ 2√(x · 1/x) = 2，等号在 x = 1/x 即 x = 1 时成立。而第（1）问已经说明 (0,1) 上递减、(1,+∞) 上同理递增，最小值确实在 x = 1 取到。
卷面上写：「∵ x > 0，∴ f(x) = x + 1x ≥ 2√(x·1x) = 2，当且仅当 x = 1 时取等号，∴ 最小值为 2。」

【答案】（1）证明如上；（2）最小值 2（x = 1 时取到）。

⚠️ 定义法证明里最容易丢分的地方：作差后不化简就直接判号。改写成「(x₁ − x₂) × (x₁x₂ − 1)/(x₁x₂)」后三项符号一目了然，这行变形值得单独占一行卷面。

【第一步 读式子，认出 A、ω、φ】A = 2，ω = 2，φ = −π/6。周期只看 ω。
卷面上写：「∵ ω = 2，∴ 最小正周期 T = 2π|ω| = 2π2 = π。」

【第二步 求最大值】sin 的最大值是 1，所以 2sin 的最大值是 2。但要注意：必须能取到——sin 里面那一坨能不能等于 π/2 + 2kπ？能，因为 2x − π/6 可以取任意实数。
卷面上写：「f(x) 的最大值为 2。」

【第三步 解出取最大时的 x】令 2x − π/6 = π/2 + 2kπ（k ∈ Z），移项得 2x = 2π/3 + 2kπ，再除以 2：x = π/3 + kπ。
卷面上写：「当 2x − π6 = π2 + 2kπ（k ∈ Z）时 f(x) 取最大值，解得 x = π3 + kπ，∴ 所求集合为 {x | x = π3 + kπ, k ∈ Z}。」

【第四步 求增区间（整体代换）】sin 的增区间是 [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]，把它整块塞进 2x − π/6 的位置，解出 x。
卷面上写：「由 −π2 + 2kπ ≤ 2x − π6 ≤ π2 + 2kπ，得 −π3 + 2kπ ≤ 2x ≤ 2π3 + 2kπ，即 −π6 + kπ ≤ x ≤ π3 + kπ。」

【第五步 写成区间】
卷面上写：「∴ f(x) 的单调递增区间为 [−π6 + kπ, π3 + kπ]（k ∈ Z）。」

【答案】（1）T = π；（2）最大值 2，x ∈ {x | x = π/3 + kπ, k ∈ Z}；（3）[−π/6 + kπ, π/3 + kπ]，k ∈ Z。

⚠️ 三个必扣分点：① 增区间最后忘了写「k ∈ Z」；② 求 x 的集合时忘了 kπ 里的「k ∈ Z」；③ 整体代换时先把 2x − π/6 当一个整体解完，再除以 2，别一边移项一边除以 2。

【第一步 观察「齐次」结构】（1）的分子分母都是 sin、cos 的一次齐次式（每一项次数相同），这种式子的杀手锏是分子分母同时除以 cos α，把 sin/cos 全部变成 tan。
卷面上写：「原式 = tan α + 1tan α − 1（分子分母同除以 cos α）。」

【第二步 代入】tan α = 2 → (2+1)/(2−1) = 3。
卷面上写：「∵ tan α = 2 ≠ 0，∴ cos α ≠ 0，原式 = 2 + 12 − 1 = 3。」

【第三步 （2）的技巧：除以 1】sinαcosα 是二次齐次式，而 1 = sin²α + cos²α，于是把它写成「除以 sin²+cos²」，再上下同除 cos²α。
卷面上写：「sin α cos α = sin α cos αsin²α + cos²α = tan αtan²α + 1（分子分母同除以 cos²α）。」

【第四步 代入】= 2/(4+1) = 2/5。
卷面上写：「∴ sin α cos α = 24 + 1 = 25。」

【第五步 （3）同样处理】sin²α − cos²α 也是二次齐次，除以 cos²α 得 (tan²α − 1)/(tan²α + 1) = (4−1)/(4+1) = 3/5。
卷面上写：「sin²α − cos²α = tan²α − 1tan²α + 1 = 35。」

【答案】（1）3；（2）2/5；（3）3/5。

💡 一句话总结：看到 sin、cos 的齐次式，就除以 cos（或 cos²）造 tan；看到「1」，就换成 sin²+cos²。这两招能解决 90% 的「已知 tan 求值」题。另外注意（2）的结果是 2/5 > 0，说明 sinα、cosα 同号，α 在第一或第三象限——题目的隐含信息可以这样反查。

【第一步 用同角关系求 sin α】sin²α = 1 − cos²α = 1 − 9/25 = 16/25，sinα = ±4/5；α 在第一象限，sin 为正，取 4/5。
卷面上写：「∵ α ∈ (0, π/2)，∴ sin α > 0，由 sin²α + cos²α = 1 得 sin α = √(1 − 9/25) = 45。」

【第二步 展开和角公式】sin(α + π/3) = sinα cos(π/3) + cosα sin(π/3)。
卷面上写：「sin(α + π3) = sin α cos π3 + cos α sin π3。」

【第三步 代入特殊角】cos(π/3) = 1/2，sin(π/3) = √3/2。
卷面上写：「= 45 × 12 + 35 × √32 = 25 + 3√310 = 4 + 3√310。」

【第四步 用二倍角求 cos 2α】只有 cosα 已知，所以挑 2cos²α − 1 这一版最省事。
卷面上写：「cos 2α = 2cos²α − 1 = 2 × 925 − 1 = −725。」

【答案】（1）4/5；（2）(4 + 3√3)/10；（3）−7/25。

⚠️ 三个坑：① sinα 的符号必须由象限定，别直接写 ±；② 通分时 2/5 = 4/10，别写成 2/10；③ cos2α 为负是正常的（2α 会落到第二象限）。

【第一步 降幂 + 二倍角，把式子「化一次」】sin²x 用降幂公式变成 (1 − cos2x)/2；sinx cosx 用二倍角公式变成 (sin2x)/2。这一步的目的：把所有平方和乘积都变成「角是 2x、次数是 1」，才能继续合成。
卷面上写：「f(x) = 1 − cos 2x2 + √32 sin 2x = 12 + √32 sin 2x − 12 cos 2x。」

【第二步 辅助角合成】后面两项是 a = √3/2、b = −1/2 的组合，R = √(3/4 + 1/4) = 1。注意 b 是负的，所以 φ = −π/6。
卷面上写：「f(x) = 12 + sin(2x − π6)。」（验算：sin(2x − π/6) = sin2x cos(π/6) − cos2x sin(π/6) = (√3/2)sin2x − (1/2)cos2x ✓）

【第三步 读周期】ω = 2，T = 2π/2 = π。
卷面上写：「∴ 最小正周期 T = 2π2 = π。」

【第四步 读最值】sin 那一坨最大 1、最小 −1，所以整体最大 1/2 + 1 = 3/2，最小 1/2 − 1 = −1/2。
卷面上写：「当 sin(2x − π6) = 1 时 f(x) 取最大值 32；当 sin(2x − π6) = −1 时取最小值 −12。」

【答案】（1）T = π；（2）最大值 3/2，最小值 −1/2。

💡 这类题的固定路线：降幂 → 二倍角 → 辅助角 → 读 T、读最值、读单调区间。化到 f(x) = A sin(ωx+φ) + B 这一步，后面全都是套公式，一分不丢。

【第一步 写出两个向量】记住「终点减起点」，这是必须写出来的第一行。
卷面上写：「→AB = (3 − 1, −1 − 2) = (2, −3)，→AC = (k − 1, 4 − 2) = (k − 1, 2)。」

【第二步 用垂直列方程】垂直 ⇔ 点积为 0，坐标式就是「对应相乘再相加 = 0」。
卷面上写：「∵ →AB ⊥ →AC，∴ 2(k − 1) + (−3)×2 = 0，即 2k − 2 − 6 = 0，解得 k = 4。」

【第三步 求模】|AB| = √(2² + (−3)²) = √13。
卷面上写：「|→AB| = √(2² + (−3)²) = √13。」

【第四步 求面积：用垂直关系直接算】AB ⊥ AC 意味着这是个直角三角形，两条直角边就是 |AB| 和 |AC|，面积 = ½ × 两直角边。
卷面上写：「由 k = 4 得 →AC = (3, 2)，|→AC| = √13；∵ AB ⊥ AC，∴ S = 12|→AB|·|→AC| = 12 × √13 × √13 = 132。」

【答案】（1）k = 4；（2）|→AB| = √13；（3）面积 13/2。

💡 如果题目不垂直，面积就用 S = ½|AB||AC|sin A，而 sin A 由 cos A = (AB·AC)/(|AB||AC|) 和 sin² + cos² = 1 反求——这也是「向量求面积」的标准套路。

【第一步 写出 Sₙ 和 qSₙ】这是错位相减的标准开局：先写普通的 Sₙ，再写「乘公比」的 2Sₙ，注意把每一项都往右错一位对齐。
卷面上写：「Sₙ = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + … + n×2ⁿ　①
2Sₙ = 1×2² + 2×2³ + … + (n−1)×2ⁿ + n×2ⁿ⁺¹　②」

【第二步 ① − ② 错位相减】同底数的项竖着对齐相减，系数差 1。
卷面上写：「① − ② 得：−Sₙ = 2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ − n×2ⁿ⁺¹。」

【第三步 前面那一串是纯等比，求和】首项 2、公比 2、共 n 项，和 = 2(2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 2ⁿ⁺¹ − 2。
卷面上写：「其中 2 + 2² + … + 2ⁿ = 2(2ⁿ − 1)2 − 1 = 2ⁿ⁺¹ − 2。」

【第四步 合并、变号】−Sₙ = (2ⁿ⁺¹ − 2) − n·2ⁿ⁺¹ = (1 − n)2ⁿ⁺¹ − 2，两边乘 −1 得 Sₙ = (n − 1)2ⁿ⁺¹ + 2。
卷面上写：「∴ Sₙ = (n − 1)·2ⁿ⁺¹ + 2。」

【第五步 验算（卷面可省略，草稿必做）】n = 1：公式给 (0)×4 + 2 = 2，而 a₁ = 1×2 = 2 ✓；n = 2：公式给 1×8 + 2 = 10，而 a₁ + a₂ = 2 + 8 = 10 ✓；n = 3：公式给 2×16 + 2 = 34，而 2 + 8 + 24 = 34 ✓。三次都对上，答案可靠。

【答案】Sₙ = (n − 1)·2ⁿ⁺¹ + 2。

⚠️ 三个扣分点：① 相减时最后一项的符号（−n·2ⁿ⁺¹）最容易漏；② 等比求和那一步数错项数（从 2¹ 到 2ⁿ 是 n 项，不是 n−1 项）；③ 最后忘了两边同乘 −1。

【第一步 用 S₅ 求公差 d】Sₙ 的第二个公式把已知量都装进去了：Sₙ = na₁ + n(n−1)d/2。
卷面上写：「S₅ = 5a₁ + 5×42d = 5 + 10d = 25，解得 d = 2。」

【第二步 写通项与前 n 项和】aₙ = a₁ + (n−1)d = 1 + 2(n−1) = 2n − 1；Sₙ = n(1 + 2n−1)/2 = n²。
卷面上写：「∴ aₙ = 2n − 1，Sₙ = n²。」

【第三步 写出 bₙ 并裂项】bₙ = 1/[(2n−1)(2n+1)]。分母两个因子相差 2，所以拆开后要乘 1/2 补回来。
卷面上写：「bₙ = 1(2n−1)(2n+1) = 12(12n−1 − 12n+1)。」（验算 n=1：右边 = ½(1 − 1/3) = 1/3，左边 = 1/(1×3) = 1/3 ✓）

【第四步 相加，中间全消】
卷面上写：「Tₙ = 12[(1 − 13) + (13 − 15) + … + (12n−1 − 12n+1)] = 12(1 − 12n+1)。」

【第五步 化简】½(1 − 1/(2n+1)) = ½ × (2n)/(2n+1) = n/(2n+1)。
卷面上写：「∴ Tₙ = n2n+1。」

【答案】（1）aₙ = 2n − 1，Sₙ = n²；（2）Tₙ = n/(2n + 1)。验算：n = 1 时 T₁ = 1/(1×3) = 1/3，公式给 1/3 ✓；n = 2 时 T₂ = 1/3 + 1/15 = 2/5，公式给 2/5 ✓。

💡 裂项的三句口诀：「分母差几，前面补几」（本例差 2，所以补 ½）；「消完只剩头和尾」；「一定要拿 n = 1 验算」。

【第（1）问：因式分解 + 口诀】x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)，两根 1 和 3，开口向上，「小于等于取中间」，端点能取到（有等号）。
卷面上写：「由 x² − 4x + 3 ≤ 0 得 (x − 1)(x − 3) ≤ 0，∴ 解集为 {x | 1 ≤ x ≤ 3}。」

【第（2）问：分式不等式 → 乘积】分式 > 0 等价于「分子分母同号」，所以化成乘积：(x − 1)(x + 2) > 0。但分母不能为 0，所以 x ≠ −2。
卷面上写：「原不等式等价于 (x − 1)(x + 2) > 0 且 x + 2 ≠ 0，解得 x > 1 或 x < −2。」（注意 −2 那个端点必须抠掉，答案里不能取等。）

【第（3）问：配方找根，含参也照做】x² − 2ax + a² − 1 = (x − a)² − 1 = (x − a − 1)(x − a + 1)。两根是 a + 1 和 a − 1，开口向上，取中间。
卷面上写：「原不等式化为 (x − a)² < 1，即 −1 < x − a < 1，∴ a − 1 < x < a + 1，解集为 {x | a − 1 < x < a + 1}。」

【第（4）问：配凑后用基本不等式】直接乘不出定值，要把 4x 拆成 4(x−1) + 4，让 (x−1) 和 9/(x−1) 相乘成定值 9。
卷面上写：「y = 4(x − 1) + 9x − 1 + 4。∵ x > 1，∴ x − 1 > 0，∴ 4(x − 1) + 9x − 1 ≥ 2√(4(x−1)·9x − 1) = 2√36 = 12。」

【第（5）步：验证等号、写出答案】等号要求 4(x−1) = 9/(x−1)，即 (x−1)² = 9/4，x − 1 = 3/2，x = 5/2；5/2 > 1，取得到。
卷面上写：「当且仅当 4(x−1) = 9x−1 即 x = 52 时取等号，∴ y 的最小值为 12 + 4 = 16。」

【答案】（1）[1, 3]；（2）{x | x < −2 或 x > 1}；（3）{x | a − 1 < x < a + 1}；（4）最小值 16（x = 5/2 时）。

⚠️ 第（2）问的陷阱：分式不等式千万别直接「交叉相乘」，因为不知道分母是正是负，乘过去不等号方向不确定。统一化成「乘积 > 0 或 < 0」再解，稳赚不亏。

【第一步 求导】逐项用「指数搬前面、指数减一」。
卷面上写：「f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)。」一定要因式分解，因为下一步要解 f′ = 0，分解后根一目了然。

【第二步 令 f′ = 0 找分界点】
卷面上写：「令 f′(x) = 0，得 x = 0 或 x = 2。」

【第三步 分区间判符号】用 0 和 2 把数轴切成三段，每段代一个数试符号（代 x = −1：f′ = 9 > 0；代 x = 1：f′ = −3 < 0；代 x = 3：f′ = 9 > 0）。
卷面上写：「当 x < 0 时 f′(x) > 0；当 0 < x < 2 时 f′(x) < 0；当 x > 2 时 f′(x) > 0。∴ f(x) 在 (−∞,0) 和 (2,+∞) 上单调递增，在 (0,2) 上单调递减。」

【第四步 读极值】x = 0 处「先增后减」→ 极大值；x = 2 处「先减后增」→ 极小值。把 x 代回原函数（不是导函数！）。
卷面上写：「∴ 极大值 f(0) = 2，极小值 f(2) = 8 − 12 + 2 = −2。」

【第五步 写切线：两个数 + 一个公式】切点 (1, f(1)) = (1, 0)，斜率 k = f′(1) = 3 − 6 = −3，点斜式 y − 0 = −3(x − 1)。
卷面上写：「∵ f(1) = 0，f′(1) = −3，∴ 切线方程为 y = −3(x − 1)，即 3x + y − 3 = 0。」

【答案】（1）f′(x) = 3x² − 6x；（2）增区间 (−∞,0)、(2,+∞)，减区间 (0,2)；（3）极大值 2，极小值 −2；（4）3x + y − 3 = 0。

⚠️ 两个高频错误：① 极值代回导函数（算出 0）——极值是函数值，必须代原函数；② 单调区间用「∪」连接——两个不相邻的增区间必须用「和」或逗号分开写，写成 (−∞,0)∪(2,+∞) 是概念错误。

【第一步 想清楚「三个零点」长什么样】三次函数两头跑向 ±∞，所以图像是「上—下—上」（或反过来）。要有三个交点，必须山顶在 x 轴上方、谷底在 x 轴下方，这样曲线才会穿过 x 轴三次。
卷面上写：「f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)，令 f′(x) = 0 得 x = 0 或 x = 2。」

【第二步 定单调性（和上题一样）】
卷面上写：「f(x) 在 (−∞,0) 上递增，在 (0,2) 上递减，在 (2,+∞) 上递增；∴ 极大值为 f(0) = a，极小值为 f(2) = a − 4。」

【第三步 把「三个零点」翻译成不等式】极大值必须 > 0，极小值必须 < 0。这里千万别写 ≥ 或 ≤：等于 0 时那个极值点正好落在 x 轴上，会变成「两个零点（其中一个重根）」，不是三个。
卷面上写：「要使 f(x) 有三个不同零点，需 f(0) = a > 0 且 f(2) = a − 4 < 0。」

【第四步 解不等式组】a > 0 且 a < 4 → 0 < a < 4。
卷面上写：「解得 0 < a < 4。」

【第五步 反向检查（重要）】取 a = 1：f(x) = x³ − 3x² + 1，f(0) = 1 > 0，f(2) = −3 < 0，f(−1) = −1 − 3 + 1 = −3 < 0，f(3) = 27 − 27 + 1 = 1 > 0。符号在 (−1,0)、(0,2)、(2,3) 各变一次 → 三个零点 ✓。
卷面上写：「∴ a 的取值范围是 (0, 4)。」

【答案】0 < a < 4。

💡 这类题的通用翻译表：「有三个零点」→ 极大 > 0 且 极小 < 0；「有两个零点」→ 极大 = 0 或 极小 = 0；「有一个零点」→ 极大 < 0 或 极小 > 0。把图形语言翻译成不等式，是导数压轴题的第一步。

【第一步 由顶点读出 a】顶点 (2,0) 在 x 轴上，说明长轴在 x 轴、长半轴 a = 2。
卷面上写：「∵ 椭圆的一个顶点为 (2, 0)，且焦点在 x 轴上，∴ a = 2。」

【第二步 由离心率求 c】e = c/a = √2/2，把 a = 2 代进去得 c = √2。
卷面上写：「∵ e = ca = √22，a = 2，∴ c = √2。」

【第三步 用 a² = b² + c² 求 b²】椭圆里 a 最大：b² = a² − c² = 4 − 2 = 2。（若误用双曲线的 c² = a² + b²，会算出 b² = 4 + 2 = 6，整题就废了。）
卷面上写：「由 a² = b² + c² 得 b² = 4 − 2 = 2，∴ 椭圆的标准方程为 x²4 + y²2 = 1。」

【第四步 写焦点】长轴在 x 轴上，焦点是 (±c, 0)。
卷面上写：「焦点为 F₁(−√2, 0)，F₂(√2, 0)。」

【第五步 用定义直接回答第（3）问】椭圆的定义就是「到两焦点距离之和 = 2a」，不用算。
卷面上写：「由椭圆的定义，|PF₁| + |PF₂| = 2a = 4。」

【答案】（1）x²/4 + y²/2 = 1；（2）F₁(−√2,0)、F₂(√2,0)；（3）4。

💡 看到「椭圆上一点到两焦点的距离」这四个字，90% 直接写 2a，不需要任何计算。这是圆锥曲线里最划算的一分。

【第一步 代点求 p】点在曲线上，坐标就满足方程，直接代。左边 y² = (2√2)² = 8，右边 2p·x = 2p·2 = 4p，所以 4p = 8。
卷面上写：「∵ 抛物线过点 M(2, 2√2)，∴ (2√2)² = 2p × 2，即 8 = 4p，解得 p = 2。」

【第二步 写标准方程】
卷面上写：「∴ 抛物线的标准方程为 y² = 4x。」

【第三步 写焦点与准线】焦点在 x 轴正半轴，横坐标 p/2 = 1；准线是 x = −p/2 = −1。
卷面上写：「焦点 F(1, 0)，准线方程为 x = −1。」

【第四步 用焦半径公式求 |PF|】别去联立求 y 坐标再算距离，那要多算三步。直接用 |PF| = x₀ + p/2。
卷面上写：「由抛物线的定义，|PF| 等于点 P 到准线 x = −1 的距离，而 P 的横坐标为 3，∴ |PF| = 3 − (−1) = 4。」

【第五步 用公式复核】|PF| = x₀ + p/2 = 3 + 1 = 4 ✓，两种算法一致。
卷面上写：「∴ |PF| = 4。」

【答案】（1）p = 2，y² = 4x；（2）F(1,0)，准线 x = −1；（3）|PF| = 4。

⚠️ 常见错法：把焦点写成 (0, 1) 或 (2, 0)。y² = 2px 的焦点一定在 x 轴上、横坐标是 p/2（不是 p）。p = 2 时焦点是 (1,0)，这是每年都有人错的地方。

【第一步 写坐标】棱长 2，沿每条轴走 2 到位。
卷面上写：「A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，A₁(0,0,2)。」

【第二步 写两个方向向量】终点减起点。
卷面上写：「→A₁B = (2 − 0, 0 − 0, 0 − 2) = (2, 0, −2)，→AC = (2, 2, 0)。」

【第三步 用夹角公式算余弦】点积 = 2×2 + 0×2 + (−2)×0 = 4；|→A₁B| = √(4+0+4) = 2√2；|→AC| = √(4+4) = 2√2。
卷面上写：「cos⟨→A₁B, →AC⟩ = 42√2 × 2√2 = 48 = 12。」

【第四步 下结论（异面直线角取锐角）】余弦是正的，所以夹角就是 60°。
卷面上写：「∴ 异面直线 A₁B 与 AC 所成角为 60°。」（若算出的余弦是负数，异面直线角要取绝对值再反求角。）

【第五步 线面角要看平面 ABCD 的法向量】底面在 z = 0 平面内，法向量直接取 n = (0,0,1)。线面角用 sin。
卷面上写：「平面 ABCD 的法向量 n = (0, 0, 1)，∴ sin θ = |n · →A₁B||n| |→A₁B| = |−2|1 × 2√2 = √22，∴ θ = 45°。」

【答案】（1）A₁(0,0,2)、B(2,0,0)、C(2,2,0)；（2）60°；（3）45°。

⚠️ 最容易错的地方：（2）用 cos、（3）用 sin。异面直线角是「两个方向向量」的夹角，直接用 cos；线面角是「方向向量与法向量」的余角，所以用 sin。用错一个，答案就反了。

【第一步 写出平面 A₁BD 内的两个向量】
卷面上写：「→A₁B = (2, 0, −2)，→A₁D = (0, 2, −2)。」

【第二步 求平面 A₁BD 的法向量】设 n₁ = (x, y, z)，让 n₁ 同时垂直于这两条向量。
卷面上写：「设 n₁ = (x, y, z)，由 n₁·→A₁B = 0 得 2x − 2z = 0；由 n₁·→A₁D = 0 得 2y − 2z = 0。∴ x = y = z，取 n₁ = (1, 1, 1)。」验算：n₁ 点乘 (2,0,−2) 得 0 ✓，点乘 (0,2,−2) 得 0 ✓。

【第三步 写底面的法向量】底面 ABCD 在 z = 0 内，法向量就是 z 轴方向。
卷面上写：「平面 ABCD 的法向量 n₂ = (0, 0, 1)。」

【第四步 套二面角公式】|cos θ| = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = 1/(√3 × 1) = √3/3。
卷面上写：「|cos θ| = |1×0 + 1×0 + 1×1|√3 × 1 = √33。」

【第五步 判断锐钝】从图上看，平面 A₁BD 「斜插」在底面上方，两者所成的二面角是锐角，所以直接取正。
卷面上写：「由图可知该二面角为锐角，∴ cos θ = √33。」

【答案】cos θ = √3/3（即二面角为 arccos(√3/3) ≈ 54.7°）。

💡 二面角题的得分点非常固定：法向量算对（占 4 分）+ 公式写对（2 分）+ 锐钝说明（1 分）。哪怕最后三角函数值算错，把法向量和公式写清楚也能拿到大部分分，所以步骤一定要写全。

【第一步 定总数】从 5 个球里取 2 个，不管顺序，用组合数：C₅² = 5×4/2 = 10 种。
卷面上写：「从 5 个球中任取 2 个，共有 C₅² = 10 种等可能取法。」

【第二步 列 X 的可能取值】红球一共 3 个，取 2 个，所以 X 可以是 0、1、2。
卷面上写：「X 的可能取值为 0，1，2。」

【第三步 分别数每种情况的取法】X = 0 表示两个都是白球：C₃⁰C₂² = 1 种；X = 1 表示 1 红 1 白：C₃¹C₂¹ = 3×2 = 6 种；X = 2 表示 2 红：C₃²C₂⁰ = 3 种。三种加起来 1+6+3 = 10 ✓（和总数对上了）。
卷面上写：「P(X = 0) = C₂²C₅² = 110；P(X = 1) = C₃¹C₂¹10 = 610；P(X = 2) = C₃²10 = 310。」

【第四步 检查分布列】1/10 + 6/10 + 3/10 = 10/10 = 1 ✓，概率和为 1 才合格。
卷面上写：（用表格写分布列）「X 的分布列为：X=0 时 1/10；X=1 时 6/10；X=2 时 3/10。」

【第五步 求期望】期望 = 每个取值乘概率再加。
卷面上写：「E(X) = 0×110 + 1×610 + 2×310 = 610 + 610 = 65 = 1.2。」

【第六步 求方差（用 E(X²) − [E(X)]² 最快）】先算 E(X²) = 0²×0.1 + 1²×0.6 + 2²×0.3 = 0.6 + 1.2 = 1.8；再减期望的平方。
卷面上写：「E(X²) = 0 + 1×610 + 4×310 = 1.8，∴ D(X) = E(X²) − [E(X)]² = 1.8 − 1.44 = 0.36。」

【答案】（1）分布列如上；（2）E(X) = 6/5 = 1.2；（3）D(X) = 0.36。

💡 快速检查期望：5 个球里红球占 3/5，取 2 个，期望个数 = 2 × 3/5 = 1.2 ✓。这个「超几何分布」的小结论可以用来验证答案，但过程必须写清组合数，不能只写结论。

【第一步 认出模型】「每次概率相同 0.8」+「相互独立」+「射 3 次」= 标准的 n 次独立重复试验，X 服从二项分布。
卷面上写：「由题意，X ~ B(3, 0.8)。」这一行是本题的命根子，写出来老师就知道你懂模型。

【第二步 用公式算「恰中 2 次」】P(X = 2) = C₃² × 0.8² × 0.2¹ = 3 × 0.64 × 0.2。
卷面上写：「P(X = 2) = C₃² × 0.8² × 0.2 = 3 × 0.64 × 0.2 = 0.384。」

【第三步 「至少 1 次」用对立事件】至少中 1 次的反面是「一次都没中」，概率 0.2³ = 0.008。
卷面上写：「P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.2³ = 1 − 0.008 = 0.992。」

【第四步 直接套期望方差公式】E = np = 3×0.8，D = np(1−p) = 3×0.8×0.2。不用先求分布列。
卷面上写：「E(X) = np = 3 × 0.8 = 2.4，D(X) = np(1 − p) = 3 × 0.8 × 0.2 = 0.48。」

【第五步 合理性检查】期望 2.4 说明「平均 3 次能中 2.4 个」，比 3 少一点，符合命中率 80%（3 × 0.8 = 2.4）✓；方差 0.48 < 期望，也正常（二项分布的方差总是 np(1−p) < np）。
卷面上写：「∴ E(X) = 2.4，D(X) = 0.48。」

【答案】（1）0.384；（2）0.992；（3）E(X) = 2.4，D(X) = 0.48。

⚠️ 三大坑：① 忘了 C₃²（只算 0.8²×0.2 = 0.128）；② 把「至少 1 次」硬算成 P(1)+P(2)+P(3)，费时又容易算错；③ 期望和方差套错公式（方差别写成 np，那是期望）。