所有图都是现场用 SVG 画的，不是贴图。每张图后面跟一张「定义域 / 值域 / 周期 / 单调性 / 奇偶性 / 过定点」六项表——这六项就是高考对函数图像的全部考法。做题时先问自己这六个问题，答案一出来，图就能默画出来。
图例：━ 紫色实线 = 函数图像；┈ 灰色虚线 = 坐标轴以外的辅助线（渐近线、值域边界）；红色只用来标关键点。
| 问题 | 怎么看出来 | 典型陷阱 |
|---|---|---|
| 定义域是什么 | 看横轴：曲线在哪些 x 上有图 | 分母≠0、真数>0、偶次根号内≥0、tan 的 x≠π/2+kπ |
| 值域是什么 | 看纵轴：曲线最高、最低到哪 | 图像要「顶到」边界才算取到，如 y=aˣ 只到 0 不到 0 |
| 周期是多少 | 看曲线是否重复自己 | tan 的周期是 π 不是 2π；|sin x| 的周期是 π |
| 单调性 | 看曲线往上走还是往下走 | 单调区间不能写并集！y=1/x 在整段上不是减函数 |
| 奇偶性 | 看对称：关于原点↔奇，关于 y 轴↔偶 | 定义域不对称就一定非奇非偶，先看定义域 |
| 过哪个定点 | 代入特殊值，如 x=0、x=1 | 指数函数恒过 (0,1)，对数函数恒过 (1,0)，别记反 |
💡 默画图像的口诀：定域 → 定界 → 定形 → 定点。先知道曲线能站在哪，再知道它最高最低到哪，再看走势，最后标一个过得到的点。四步走完，图不会画错。
这三张图必须能闭眼默画。高考里三角函数图像题，要么考平移伸缩，要么考单调区间，要么考最值——三样都建立在「图像长什么样」上。
| 项目 | y = sin x 的结论 | 记忆抓手 |
|---|---|---|
| 定义域 | R | 全体实数，图像左右无限延伸 |
| 值域 | [−1, 1] | 波峰 1、波谷 −1，两张虚线之间 |
| 周期 | T = 2π | 波形每 2π 重复一次 |
| 单调性 | 增：[−π2+2kπ, π2+2kπ]；减：[π2+2kπ, 3π2+2kπ]，k∈Z | 从一个波谷升到波峰，再降回去 |
| 奇偶性 | 奇函数（关于原点对称） | sin(−x) = −sin x |
| 过定点 | 过原点 (0,0)，零点为 (kπ, 0)；最高点 (π2+2kπ, 1) | 五点作图：0→0，π/2→1，π→0，3π/2→−1，2π→0 |
⚠️ 单调区间一定要带 2kπ，否则只是「一个周期上的单调性」；写成开区间、闭区间在高考里都给分，但同一份卷子要统一。
| 项目 | y = cos x 的结论 | 记忆抓手 |
|---|---|---|
| 定义域 | R | 同 sin，左右无限 |
| 值域 | [−1, 1] | 振幅与 sin 相同 |
| 周期 | T = 2π | 与 sin 相同 |
| 单调性 | 增：[−π+2kπ, 2kπ]；减：[2kπ, π+2kπ]，k∈Z | 从波谷 (−π, −1) 升到 (0, 1) |
| 奇偶性 | 偶函数（关于 y 轴对称） | cos(−x) = cos x |
| 过定点 | 过 (0,1) 为最高点；零点 (π2+kπ, 0) | 口诀「余弦过点 (0,1)」 |
💡 cos 就是 sin 左移 π/2：cos x = sin(x + π/2)。记一张图就等于记两张，图上验证一下：sin 的波峰在 π/2，cos 的波峰在 0，正好往左挪了 π/2。
| 项目 | y = tan x 的结论 | 记忆抓手 |
|---|---|---|
| 定义域 | {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z} | 渐近线处「断开」，取不到 |
| 值域 | R | 每一支都从 −∞ 涨到 +∞ |
| 周期 | T = π | 不是 2π！这是最常错的地方 |
| 单调性 | 在每个 (kπ−π2, kπ+π2) 内递増 | 只能说「在每一支上」，整体不是增函数 |
| 奇偶性 | 奇函数（关于原点对称） | tan(−x) = −tan x |
| 过定点 | 过原点 (0,0)，零点 (kπ, 0)；渐近线 x = π2+kπ | 直线 y=x 与它在原点相切？不，只是都过原点 |
⚠️ 三处必错：① 周期写成 2π；② 单调区间写成「在 R 上递增」；③ 定义域漏掉 kπ。tan 的图像是「一间一间房间」，中间隔着渐近线的墙，永远不能翻墙说整体单调。
这五张是「基本功图」。解析几何里到处是它们的影子，尤其抛物线、绝对值、反比例，换元之后都是它们。
| 项目 | y = x²（一般式 y = ax²+bx+c, a>0） |
|---|---|
| 定义域 | R |
| 值域 | [0, +∞)；一般式 [4ac−b²4a, +∞) |
| 周期 | 无（不是周期函数） |
| 单调性 | 减区间 (−∞, 0]；增区间 [0, +∞)。一般式以 x = −b/(2a) 为界 |
| 奇偶性 | 偶函数，关于 y 轴对称（一般式：bx=0 时才关于 y 轴对称） |
| 过定点 | 顶点 (0,0)；一般式顶点 (−b2a, 4ac−b²4a)，与 y 轴交于 (0,c) |
| 项目 | y = x³ 的结论 |
|---|---|
| 定义域 | R |
| 值域 | R |
| 周期 | 无 |
| 单调性 | 在 R 上单调递增（整个定义域，没有断开） |
| 奇偶性 | 奇函数，关于原点对称 |
| 过定点 | (0,0)（同时是拐点、对称中心）；还过 (1,1)、(−1,−1) |
| 项目 | y = √x 的结论 |
|---|---|
| 定义域 | [0, +∞)（偶次根号内必须 ≥ 0） |
| 值域 | [0, +∞) |
| 周期 | 无 |
| 单调性 | 在 [0, +∞) 上单调递增，但增长越来越慢（图像越来越平） |
| 奇偶性 | 非奇非偶（定义域不关于原点对称） |
| 过定点 | (0,0)、(1,1)、(4,2)、(9,3) |
| 项目 | y = |x| 的结论 |
|---|---|
| 定义域 | R |
| 值域 | [0, +∞) |
| 周期 | 无 |
| 单调性 | 减区间 (−∞, 0]；增区间 [0, +∞) |
| 奇偶性 | 偶函数，图像关于 y 轴对称 |
| 过定点 | (0,0) 是折点（最低点），此处不可导 |
💡 把 y = |x| 看成两条射线拼起来：y = x (x ≥ 0)、y = −x (x < 0)。含绝对值的题，第一件事永远是分类去绝对值，分界点就是绝对值里等于 0 的地方。
| 项目 | y = 1/x（即 y = k/x, k>0）的结论 |
|---|---|
| 定义域 | {x | x ≠ 0} |
| 值域 | {y | y ≠ 0} |
| 周期 | 无 |
| 单调性 | 在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上分别单调递减，k<0 时分别递增。不能写成在定义域上递减 |
| 奇偶性 | 奇函数，关于原点对称 |
| 过定点 | 过 (1,1)、(−1,−1)（k=1 时）；无 y 轴交点、无 x 轴交点；渐近线 x=0、y=0 |
底数 a 决定一切：a>1 一起涨，0<a<1 一起跌；而 aˣ 与 logₐx 关于直线 y=x 对称（互为反函数）。这两张图是「比较大小」题的命根子。
| 项目 | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| 定义域 | R | R |
| 值域 | (0, +∞) | (0, +∞) |
| 周期 | 无 | 无 |
| 单调性 | 在 R 上单调递增 | 在 R 上单调递减 |
| 奇偶性 | 非奇非偶 | 非奇非偶 |
| 过定点 | (0,1) | (0,1) |
| 渐近线 | x 轴（y=0），左端无限贴近但取不到 | x 轴（y=0），右端无限贴近但取不到 |
| 项目 | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| 定义域 | (0, +∞) | (0, +∞) |
| 值域 | R | R |
| 周期 | 无 | 无 |
| 单调性 | 在 (0,+∞) 上单调递增 | 在 (0,+∞) 上单调递减 |
| 奇偶性 | 非奇非偶（定义域不对称） | 非奇非偶 |
| 过定点 | (1,0) | (1,0) |
| 渐近线 | y 轴（x=0），向下无限贴近 | y 轴（x=0），向上无限贴近 |
💡 反函数对称：aˣ 与 logₐx 的图像关于直线 y = x 对称。所以「过 (0,1)」与「过 (1,0)」是一一对应的——千万别把两个定点互换记混。
三张图靠「一个定义 + 一个离心率」撑起来。椭圆是「到两焦点距离之和为定值 2a」，双曲线是「距离之差的绝对值为 2a」，抛物线是「到焦点与到准线距离相等」。
| 项目 | 椭圆 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0） |
|---|---|
| 定义域 | [−a, a] |
| 值域 | [−b, b] |
| 周期 | 无（是封闭曲线，但不是周期函数图像） |
| 单调性 | 上半支：增 [−a,0]，减 [0,a]；下半支相反。整体不单调 |
| 奇偶性 / 对称性 | 不是 y=f(x) 的函数，不讨论奇偶；曲线关于 x 轴、y 轴、原点都对称 |
| 过定点 / 关键点 | 顶点 (±a,0)、(0,±b)；焦点 (±c,0)，c² = a² − b²；离心率 e = c/a ∈ (0,1) |
⚠️ 焦点在 y 轴时是 y²/a² + x²/b² = 1，此时 a 是半长轴，永远 a > b > 0、c² = a² − b²。判断焦点在哪：看分母谁大，大的那个方向就是焦点所在轴。
| 项目 | 双曲线 x²/a² − y²/b² = 1 的结论 |
|---|---|
| 定义域 | (−∞, −a] ∪ [a, +∞) |
| 值域 | R |
| 周期 | 无 |
| 单调性 | 右支：减 (−∞,0]、增 [0,+∞)（以 x 轴为分界，上下各半支）；左支对称 |
| 奇偶性 / 对称性 | 不是 y=f(x) 的函数，不讨论奇偶；曲线关于 x 轴、y 轴、原点都对称 |
| 过定点 / 关键点 | 顶点 (±a,0)；焦点 (±c,0)，c² = a² + b²；渐近线 y = ±bax；离心率 e = c/a > 1 |
⚠️ 双曲线的 c² = a² + b²，椭圆的 c² = a² − b²——这是最高频的一处笔误。渐近线斜率是 ±b/a，别写成 ±a/b。若焦点在 y 轴（y²/a² − x²/b² = 1），渐近线变成 y = ±abx。
| 项目 | 抛物线 y² = 2px（p > 0）的结论 |
|---|---|
| 定义域 | [0, +∞)（开口向右，x 不取负） |
| 值域 | R |
| 周期 | 无 |
| 单调性 | 上半支（y>0）增；下半支（y<0）减。按 x 讨论：在 [0,+∞) 上不单调 |
| 奇偶性 / 对称性 | 不是 y=f(x) 的函数，不讨论奇偶；曲线关于 x 轴对称 |
| 过定点 / 关键点 | 顶点 (0,0)；焦点 (p2, 0)；准线 x = −p2；离心率 e = 1；通径长 2p |
💡 抛物线定义：到焦点 F 的距离 = 到准线 l 的距离。焦半径 |PF| = x₀ + p/2，这是圆锥曲线大题里省时间的关键公式。四种开口方向：y²=2px（右）、y²=−2px（左）、x²=2py（上）、x²=−2py（下）。
| 角度 | 弧度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π6 | 12 | √32 | √33 |
| 45° | π4 | √22 | √22 | 1 |
| 60° | π3 | √32 | 12 | √3 |
| 90° | π2 | 1 | 0 | 不存在 |
| 120° | 2π3 | √32 | −12 | −√3 |
| 135° | 3π4 | √22 | −√22 | −1 |
| 150° | 5π6 | 12 | −√32 | −√33 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π2 | −1 | 0 | 不存在 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
💡 记忆法：把 0°、30°、45°、60°、90° 的 sin 值写成 √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2；cos 值把它倒过来写；tan = sin/cos，分母为 0 时不存在（90°、270°）。
口诀：奇变偶不变，符号看象限。「奇偶」指 π/2 的奇数倍还是偶数倍；「符号」指把 α 当成锐角时，原式（原函数）所在象限的正负。
| 公式（k ∈ Z） | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| −α | −sin α | cos α | −tan α |
| π − α | sin α | −cos α | −tan α |
| π + α | −sin α | −cos α | tan α |
| 2π − α | −sin α | cos α | −tan α |
| 2kπ + α | sin α | cos α | tan α |
| π/2 − α | cos α | sin α | cot α |
| π/2 + α | cos α | −sin α | −cot α |
| 3π/2 − α | −cos α | −sin α | cot α |
| 3π/2 + α | −cos α | sin α | −cot α |
⚠️ 诱导公式的符号只与原函数有关：化简 cos(π + α) 时看 cos 在第三象限的符号（负），不要看 sin。这是出错率最高的一步。
求值域就三招：看图像（本页所有图）、配方（二次型）、单调性 + 端点（一般函数）。下表按「看到什么就想什么」排列。
| 函数 | 定义域 | 值域 | 求法提示 |
|---|---|---|---|
| y = kx + b (k≠0) | R | R | 一次函数，直线走到底 |
| y = ax² + bx + c (a>0) | R | [4ac−b²4a, +∞) | 配方，看顶点；a<0 时取 (−∞, 顶点] |
| y = ax+bcx+d | x ≠ −d/c | y ≠ a/c | 分离常数，反比例平移 |
| y = x + 1x (x>0) | x > 0 | [2, +∞) | 基本不等式，x=1 取等；x<0 时为 (−∞,−2] |
| y = √(ax+b) | ax+b ≥ 0 | [0, +∞) | 根号值非负 |
| y = aˣ (a>0, a≠1) | R | (0, +∞) | 指数为正，永远到不了 0 |
| y = logₐx | (0, +∞) | R | 对数能取遍全体实数 |
| y = sin x，y = cos x | R | [−1, 1] | 有界，振幅 1 |
| y = a sin x + b cos x | R | [−√(a²+b²), √(a²+b²)] | 辅助角公式化成一个 sin |
| y = sin²x 或 cos²x | R | [0, 1] | 平方后非负，最大值 1 |
| y = tan x | x ≠ π/2+kπ | R | 每一支都跑遍全体实数 |
| y = |x| | R | [0, +∞) | 绝对值非负 |
| y = 2ˣ + 2⁻ˣ | R | [2, +∞) | 令 t = 2ˣ > 0，t + 1/t ≥ 2 |
| y = f(x) 在 [m,n] 上 | [m,n] | [最小值, 最大值] | 先判单调，再代端点；有极值点要比较 |
| 变换 | 解析式 | 图像怎么动 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 左右平移 | y = f(x − a) | a>0 右移 a 个单位，a<0 左移 |a| 个 | 「左加右减」写在括号里 |
| 上下平移 | y = f(x) + b | b>0 上移 b 个，b<0 下移 | 写在括号外，作用在函数值上 |
| 关于 x 轴翻折 | y = −f(x) | 上下颠倒，y 变号 | 零点不动 |
| 关于 y 轴翻折 | y = f(−x) | 左右镜像 | x 变号，图像左右翻转 |
| 关于原点对称 | y = −f(−x) | 旋转 180° | 先左右翻再上下翻 |
| 纵向伸缩 | y = k·f(x) | k>1 拉长，0<k<1 压扁 | 横向不变，只改高度 |
| 横向伸缩 | y = f(kx) | 0<k<1 横向拉长 1/k 倍；k>1 压缩 | 周期变为原来的 1/|k| |
| 右半翻左 | y = f(|x|) | 保留 y 轴右侧，再镜像到左侧 | 左侧原有部分被扔掉 |
| 下翻上 | y = |f(x)| | x 轴下方部分翻折到上方 | 上方部分保持不变 |
⚠️ 顺序陷阱：先平移再伸缩，和先伸缩再平移，结果不一样。y = sin(2x + π/3) 是 sin2x 左移 π/6（不是 π/3），因为要把 x 提出来：sin[2(x + π/6)]。
每题只有一个正确选项，点一下立刻判对错；选错了会告诉你这一个选项错在哪。
这四题考的是「六个问题」在真实题目里的用法：定义域、离心率、渐近线、平移。
六条都能脱口而出，这一页就真的过关了。任何一条卡住，回到对应那张图，把六个问题重新答一遍。