28 道选择题（点选项立刻判对错 + 展开解析）＋ 8 道大题（折叠看完整分步解答）。按 基础 → 中档 → 提高 → 压轴 四个阶段编排，覆盖集合、复数、三角、向量、数列、不等式、直线与圆、统计、导数、圆锥曲线、立几、概率、计数原理。
⚠️ 免责提示：本页题目按各省高考卷（新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷、北京、上海、天津、浙江、江苏）的题型与考法整理改编，标注的【来源】指题型出处方向，不是逐字原题。所有答案与解析均经过验算；若与官方答案有出入，以官方真题为准。刷题目的是掌握"这类题怎么想"，而不是背题号。
| 阶段 | 目标分 | 选择题考什么 | 大题考什么 |
|---|---|---|---|
| 阶段一 · 基础 | 60~80 | 集合、复数、三角函数求值、向量、等差等比、一元二次不等式、统计 | 解三角形、等比数列通项与求和 |
| 阶段二 · 中档 | 80~100 | 导数切线、椭圆离心率、古典概型、外接球、余弦定理、二项式、直线与圆 | 立体几何（空间向量）、二项分布与期望 |
| 阶段三 · 提高 | 100~120 | 导数含参单调、弦长、线面角、二项分布反求 n、错位相减、裂项、双曲线离心率 | 导数单调性 + 零点、抛物线与定点 |
| 阶段四 · 压轴 | 120~150 | 零点个数、恒成立、双曲线定值、椭圆距离最值、数列递推、新定义、构造函数比大小 | 导数不等式证明、圆锥曲线面积最值 |
💡 顺序建议：阶段一、二的选择题刷到 90% 正确率 → 再动阶段三、四的大题（先自己写，写不下去再看折叠答案）。
考点：集合运算 · 复数 · 三角函数求值 · 平面向量 · 等差数列 · 一元二次不等式 · 统计（平均数、方差）
还没开始，点选项作答
【解】（1）由正弦定理，设外接圆半径为 R，则 a = 2R sin A、b = 2R sin B、c = 2R sin C。代入已知等式并约去公因子 2R：
移项，把含 sin C、sin B 的项并到右边：
因为 A + B + C = π，所以 sin(B + C) = sin(π − A) = sin A，于是
其中用到 sin A > 0（三角形内角）可以两边同除。又 B ∈ (0, π)，故 B = π3。
（2）由余弦定理：
把 a² + c² = (a + c)² − 2ac 代入：
所以面积
【答案】（1）B = π3；（2）S = 3√34。
【解】（1）设公比为 q。因为各项均为正数，所以 a1 > 0 且 q > 0。
由 a3 = a1q² 得
故通项
前 n 项和（q ≠ 1）
（2）由 Sn > 1000 得
因为 29 = 512 < 1002 < 1024 = 210，且 2n+1 关于 n 递增，所以 n + 1 ≥ 10，即 n ≥ 9。
验证：S8 = 29 − 2 = 510 < 1000，S9 = 210 − 2 = 1022 > 1000，符合。
【答案】（1）an = 2n，Sn = 2n+1 − 2；（2）最小正整数 n = 9。
考点：导数求切线 · 椭圆离心率 · 古典概型 · 几何体外接球 · 余弦定理 · 二项式定理 · 直线与圆的位置关系
还没开始，点选项作答
【解】先写出各点坐标：A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、A1(0,0,2)、D1(0,2,2)。因 E 为 CC1 中点且 C1(2,2,2)，故 E(2,2,1)。
（1）向量
数量积与模长：
设两直线所成角为 θ，则
（2）BA1 = (−2, 0, 2)，BE = (0, 2, 1)。设平面 A1BE 的法向量 n = (x, y, z)，则
取 z = −2，得 x = −2、y = 1，即 n = (−2, 1, −2)，|n| = 3。
平面 ABCD 即 z = 0，法向量 m = (0, 0, 1)。设锐二面角为 φ：
【答案】（1）√39；（2）23。
【解】（1）3 件中恰有 2 件合格，即从中选 2 件合格、1 件不合格：
（2）X ~ B(3, 23)，X 的可能取值为 0, 1, 2, 3：
检验：1 + 6 + 12 + 827 = 1，正确。分布列：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | 1/27 | 6/27 (2/9) | 12/27 (4/9) | 8/27 |
期望（二项分布公式，或按定义算）：
（3）先算 E(X²)：
【答案】（1）49；（2）分布列如上，E(X) = 2；（3）D(X) = 23。
考点：导数含参单调性 · 直线与椭圆联立求弦长 · 空间向量求线面角 · 二项分布反求参数 · 错位相减 · 裂项相消 · 双曲线渐近线与离心率
还没开始，点选项作答
【解】（1）定义域为 (0, +∞)。
① 当 a ≤ 0 时：1 − ax > 0 对一切 x > 0 成立，故 f'(x) > 0，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。
② 当 a > 0 时：令 f'(x) = 0 得 x = 1a。
故 f(x) 在 x = 1a 处取极大值，也是最大值：
（2）先排除 a ≤ 0：此时 f 在 (0, +∞) 上递增，且
由零点存在定理，f 恰有 1 个零点，不合题意。
再讨论 a > 0：最大值 fmax = −ln a。
【答案】（1）a ≤ 0 时在 (0, +∞) 上递增；a > 0 时在 (0, 1a) 上递增、在 (1a, +∞) 上递减，最大值 −ln a。（2）0 < a < 1。
【解】（1）因为 A、B 异于原点，直线 AB 不经过 O，故可设
代入 y² = 4x 得
由韦达定理：y1 + y2 = 4m，y1y2 = −4n。
由 OA ⊥ OB 得 OA·OB = x1x2 + y1y2 = 0。又 x1 = y124、x2 = y224，故
因为 y1y2 = −4n ≠ 0，所以
于是 AB: x = my + 4，即直线 AB 恒过定点 (4, 0)。注：此时判别式 Δ = 16m² + 64 > 0 恒成立，直线与抛物线必有两个交点。
（2）原点 O 到直线 x − my − 4 = 0 的距离
弦长：由 |y1 − y2|² = (y1 + y2)² − 4y1y2 = 16m² + 64 得
所以
因为 m² ≥ 0，故 S ≥ 8×2 = 16，当且仅当 m = 0 时取等号。
验证 m = 0：AB: x = 4，A(4, 4)、B(4, −4)，S = 12×8×4 = 16，且 OA·OB = 16 − 16 = 0，满足垂直条件。
【答案】（1）定点为 (4, 0)；（2）面积最小值为 16（此时 AB ⊥ x 轴）。
考点：导数零点个数 · 恒成立求参 · 双曲线定值 · 椭圆上点到直线距离最值 · 数列递推求通项 · 新定义运算 · 构造函数比较大小
还没开始，点选项作答
【解】（1）定义域 (0, +∞)。
当 0 < x < 1 时 f'(x) < 0，f 递减；当 x > 1 时 f'(x) > 0，f 递增。故
（2）由（1）知对一切 x > 0 有 f(x) ≥ f(1) = 0，即
由于 x = 1 是 f 的唯一最小值点，故等号成立当且仅当 x = 1。
（3）对 k = 1, 2, …, n，取 x = k + 1k > 0（此时 x ≠ 1，由（2）不等式严格成立）：
即 ln(k + 1) − ln k < 1k。把 k = 1, 2, …, n 的 n 个不等式相加，左边裂项相消：
右边为 1 + 12 + … + 1n。故
【答案】（1）最小值 0，在 x = 1 处取得；（2）ln x ≤ x − 1，等号仅当 x = 1；（3）见上，取 x = k+1k 累加即得。
【解】（1）由方程得 a² = 4、b² = 3，故 a = 2、b = √3，
焦点为 F1(−1, 0)、F2(1, 0)。
（2）若 l 与 x 轴重合，则 A、B、F1 共线，不能构成三角形，故舍去。于是可设
代入 3x² + 4y² = 12：
由韦达定理
判别式 Δ = 36m² + 36(3m² + 4) = 144(m² + 1) > 0 恒成立，故总有两个交点。于是
点 F1(−1, 0) 到直线 x − my − 1 = 0 的距离
所以
令 t = √(m² + 1) ≥ 1，则 3m² + 4 = 3(t² − 1) + 4 = 3t² + 1，于是
设 g(t) = 3t + 1t，g'(t) = 3 − 1t² > 0 对 t ≥ 1 恒成立，故 g 在 [1, +∞) 上递增，在 t = 1 处取最小值 g(1) = 4。
于是 S ≤ 124 = 3，等号成立当 t = 1，即 m = 0，此时 l: x = 1。
验证：x = 1 代入得 y² = 94，A(1, 32)、B(1, −32)，|AB| = 3，d(F1, l) = 2，S = 12×3×2 = 3，正确。
【答案】（1）e = 12，F1(−1, 0)、F2(1, 0)；（2）面积最大值为 3（此时 l: x = 1）。